ファイルコピー中という動作は実際何をしているのかわかりませんが
おそらく圧縮されたファイルを展開しているのではないかと思います。

自分はPS4にSSDを搭載して使用していますが、それほど時間はかかりませんでした。
PS4の仕組みで「ファイルコピー中」という動作が入るのであればユーザー側で対策できることもあると思います。
たとえば

　①HDDパフォーマンスを改善する。
　　基本的にHDDは空き容量が減れば減るほど読み書きの時間がかかるようになるので
　　使用頻度の低いものは削除したり外付けHDDに移動したり、もしくはSSDに換装する。

　②サーバ解放前にアップデートを終了させる。
　　アップデートパッチはFF14のサーバ解放と同時に配信ではないはずなので、自動ダウンロードできるように設定しておく(PS+加入が必要かも)。

FF14のサーバ解放前にアップデートパッチのインストールをはじめて、その間にご飯やお風呂を済ませておけばいいんじゃないかと思いますよ。