公式バックアップ機能でエラー発生

[KuroGoldFish]

でちょうどエラーを起こしたあたりに気に留めてはいなかったんですが
プロバイダから：「NAT64/DNS64」の設定（無料）が完了メールが届いておりました

これが怪しいように思えます。
自分はNAT64/DNS64について知識は全く持ってないので、完全に間違った推測かもしれないのですが、
恐らく現在あなたは、IPv4のグローバルIPアドレスを所持していない状態になってしまってるのではないかと思います。
しかしながら、FF14に接続する場合はIPv4のグローバルIPアドレスが必要…
なので通信中のどこかで何者かによりIPv4のグローバルIPアドレスが通信データに勝手に付与されるものの、
その付与されたアドレスが接続先のサーバーによって違うという事態になっているのかもしれません。
（例えば、とあるＩＰアドレスを調べられるサイトを開くと、決まって同じアドレスが表示されてしまうが、
別のＩＰアドレスを調べられるサイトを開くと、そこでは先ほどのサイトと違うアドレスが表示されるなど）

なお大事なことなので2度書きますが、
自分はNAT64/DNS64は全く知識ないので、僕のこのNAT64/DNS64に対する回答は、思いっきり間違ってるかもしれません。

というか自分がシステム担当者ならすぐ削除して（データ保全は当然する）
これで試していただけませんか？　としますけれど・・・

ここの運営の場合、「データ削除で直る可能性が非常に高い」とならない限り、
キャラクターデータを直接編集するような重大で危険な操作は行わない傾向があるように思えます。
（そのような操作を、一般のスタッフができるようになっているかも怪しい。）
現在の運営側の認識では、原因がIPアドレスの相違とのことですので、
猶更このような危険な操作を行うのは難しいのではないかと思います。