すっごい遅レスとなってしまうのですが、
現在のFF14にはP2Pは使われていないようなので、NATタイプだのプライベートIPだのが関係している可能性は低いと思います。
（旧FF14ではパッチDLにP2Pを使っていたらしい・・・？）

Matthausさんが書かれている新生開始初期の事も調べてみたのですが、
「P2Pでないのに、プロバイダにP2Pと判定され規制されてしまう」という現象だったようなので、
新生後のFF14がP2Pを使っているというわけではないようです。

さて本題ですが、PCもPS4も同じ現象でルーター介さず直で刺してもダメということであれば、
建物かプロバイダの問題のような気がします。
最悪引っ越しか、もしくはWiMAXやスマホテザリングといった別の通信手段を検討した方がいいかもしれません。
よくスマホテザリングではネトゲは難しいなんて言われますが、
FF14程度の要求スペックであれば問題なく遊べると思います。最近は無制限プランも充実してきましたし。