Thend started a thread asking a config setting to be able to set timer or keep the log widget constantly on. Here's his post + rep response.

Original Thread Link: http://forum.square-enix.com/ffxiv/threads/20417

Quote Originally Posted by Thend View Post
非表示にする事は良いのですけど、常に出したままや非表示にするまでの時間設定（コンフィグから１０秒、３０秒、６０秒、常時から選ぶ等）ってできないのでしょうか？
It's nice to be able to hide it but would it be possible to make it visible at all time or set timer from config such as 10sec, 30sec, 60sec, always on?

個人的な感想になりますが、１０秒が短すぎてチャット以外の事をする度にログが点いたり消えたりと気になります。早急に改善して欲しい訳じゃないですが将来的にでも良いので選択可能になればいいなあ。
Just my personal opinion but 10 seconds seems bit too short and when doing things other than chat when it disappears quickly i get curious and have to check. Not saying want this fix right away but in future it would nice to have these options.

できれば、ログウィジェット１、ログウィジェット２は別々に設定できれば理想。
If possible be able to set settings for Log widget 1 and 2.
Rep Response
Quote Originally Posted by Triairy View Post
こんばんは。
Good Evening

ログウィジェットの非表示化についてのフィードバックありがとうございます。本件について皆川と確認してきました。
Thank you for the feedback regarding log widget visibility, talked to Minagawa regarding this one.

常時表示や非表示までの時間設定についてはコンフィグから任意に設定できるよう対応を行ってもらえることになりました。
He said they will make it possible set timer for showing constantly or hide with timer.

ただし他のタスクが多く残っているため、直近での実装は難しいとのことですがお待ちいただければと思います。
But there are other tasks currently therefore we cannot work on this right away so if you could please wait.