該当のクエストを受けると、リストで確認すると認証鍵を持っているかを『0/1』という形で鍵を持っているか持っていないかが表示されると思います。
私は鍵を持っていないのでクエスト受注時点で『0/1』となっていますので、指摘されているように既に持っているということはありません。

持っているなら報告すればクリア出来るのでは？って指摘だと思いますが、
FATEに参加しても目的のアイテムが入手できないし、クリアアイコンになっていても報酬がもらえない(目的のアイテムを入手していないんだから当然ですが)から
念のため報告させていただいています。